Интегрирование по частям и замена переменных в неопределенном интеграле

Пусть $F(x)$ - первообразная $f(x)$ на $X$, а $g(t)\mathpunct{:}~ Y \to X$ дифференцируема на $Y$, тогда: $$\int f(g(t))g'(t) \, dt = F(g(t)) + C$$

Возьмём производную от правой части: $$(F(g(t)) + C)' = F'(g(t)) = f(g(t))g'(t) ~~~~~\square$$

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ - дифференцируемы, тогда: $$\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx$$

Возьмём производную правой части: $$f'(x)g(x) - f(x)g'(x) - f'(x)g(x) = f(x)g'(x) ~~~~~\square$$